Vận tốc của cùng một chuyển động có thể có những giá trị khác nhau đối với những quan sát viên khác nhau. Do đó, vận tốc có tính tương đối. Ví dụ, một vật chuyển động (có vận tốc khác không) so với vật khác nhưng lại đứng yên (có vận tốc bằng không) so với chính mình.

Để đo giá trị của vận tốc, người ta gắn với mỗi quan sát viên nói trên một hệ trục tọa độ để xác định vị trí trong không gian và một đồng hồ để xác định thời gian. Hệ trục tọa độ và đồng hồ được gọi là hệ quy chiếu. Các quan sát viên khác nhau có thể có hệ quy chiếu khác nhau và quan sát thấy các vận tốc khác nhau của cùng một vật thể đang chuyển động. Như vậy, vận tốc của chuyển động phụ thuộc vào hệ quy chiếu tại đó vị trí và thời gian được ghi nhận.

Cộng vận tốc trong Cơ học cổ điển

Như đã nói ở trên, vận tốc có tính tương đối và, do đó, có thể nhận các giá trị khác nhau đối với các hệ quy chiếu khác nhau. Để "chuyển đổi" vận tốc từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, người ta sử dụng phép cộng vận tốc.

Trong Cơ học cổ điển, công thức cộng vận tốc đơn giản là phép cộng véctơ được thể hiện như sau:

v A B = v A C + v C B {\displaystyle \mathbf {v} _{AB}=\mathbf {v} _{AC}+\mathbf {v} _{CB}}

Trong đó:

• v A B {\displaystyle \mathbf {v} _{AB}} là vận tốc của A đối với B
• v A C {\displaystyle \mathbf {v} _{AC}} là vận tốc của A đối với C
• v C B {\displaystyle \mathbf {v} _{CB}} là vận tốc của C đối với B

Như vậy, vận tốc của một vật A đối với hệ quy chiếu B bằng vận tốc của A đối với một hệ quy chiếu trung gian C cộng với vận tốc của hệ quy chiếu trung gian đó đối với hệ quy chiếu B.

Cộng vận tốc trong Cơ học tương đối tính

Theo Thuyết Tương Đối của Albert Einstein công thức cộng vận tốc được viết lại một cách chính xác hơn như sau:

u x = u x ′ + v 1 + v c 2 u x ′ {\displaystyle u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'_{x}}}}

Trong đó:

• u x {\displaystyle u_{x}} là vận tốc tuyệt đối (tại hệ quán tính đang khảo sát K {\displaystyle K} )
• u x ′ {\displaystyle u'_{x}} là vận tốc tương đối (tại hệ quán tính đang chuyển động ( K ′ {\displaystyle K'} ) đối với hệ quán tính K {\displaystyle K} )
• v {\displaystyle v} là vận tốc của hệ quán tính K ′ {\displaystyle K'} so với hệ quán tính K {\displaystyle K}
• c {\displaystyle c} là vận tốc ánh sáng trong chân không (thường lấy c ≈ 300000 k m / s {\displaystyle c\approx 300000km/s} )

Công thức này còn thể hiện tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không đối với các hệ quán tính khác nhau. Thật vậy, với u x ′ = c {\displaystyle u'_{x}=c} thì u x = c {\displaystyle u_{x}=c} . Khi v ≪ c {\displaystyle v\ll c} thì ta lại được công thức cộng vận tốc trong cơ học cổ điển.

Chứng minh cộng thức cộng vận tốc trong chuyển động tương đối tính[1]

• Ta có: u x = d x / d t {\displaystyle u_{x}=\operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t} ( 1 ) {\displaystyle (1)}
• Với d x = d x o + v o t ′ 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \operatorname {d} \!x=\operatorname {d} \!{\frac {x_{o}+v_{o}t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} và d t = d t ′ + x ′ v c 2 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \operatorname {d} \!t=\operatorname {d} \!{\frac {t'+{\frac {x'v}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} , thay vào ( 1 ) {\displaystyle (1)} và biến đổi, ta được:

u x = d x ′ + v d t ′ d t ′ + v c 2 d x ′ {\displaystyle u_{x}={\frac {\operatorname {d} \!x'+v\operatorname {d} \!t'}{\operatorname {d} \!t'+{\frac {v}{c^{2}}}\operatorname {d} \!x'}}}

• Chia cả hai vế cho d t ′ {\displaystyle \operatorname {d} \!t'} : u x = d x ′ d t ′ + v 1 + v c 2 d x ′ d t ′ = u x ′ + v 1 + v c 2 u x ′ {\displaystyle u_{x}={\frac {{\frac {\operatorname {d} \!x'}{\operatorname {d} \!t'}}+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \!x'}{\operatorname {d} \!t'}}}}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\tfrac {v}{c^{2}}}u'_{x}}}}